一如我上一篇文章所述, 98 學年度學測的數學試題帶給我些許震撼, 也讓我有點納悶, 高中生為何要學信賴區間與信心水準的解讀? 根據 googling 的結果, 對於此問題有如下解答 (參見"普通高級中學課程暫行綱要Q&A手冊"):
Q: 高中數學科課程暫行綱要為何要加入「信心水準與信賴區間的解讀」?
A:
一、敘述性的統計在國中小已談了許多，事實上，連國中基測都已經用PR分數計算成績，若高中課綱仍停留在目前的層次，似乎只是複習國中小的內容，並未更上一層樓。
二、信心水準與信賴區間的字眼經常出現在新聞報導，現代國民應該曉得它的意思。因此，暫綱強調信心水準與信賴區間的「解讀」，定位在通識教育的層次，不需探討太深的技術問題。
Well, 關於這些理由, 我可以理解, 我亦不否認信心水準與信賴區間解讀的重要性, 然而, 我個人認為不宜在沒有足夠的機率統計理論下, 介紹信心水準與信賴區間. 在高中生有限的機率統計基礎下,貿然以"通識教育"的方式介紹此觀念, 實在令人擔心有多少高中生真能理解信賴區間與信心水準的真諦?
今天走訪了一趟書局, 首先翻到一本"三民版"的數學課本, 內容算是中規中矩, 在重要的觀念上並不馬虎, 然而, 限於"不需探討太深的技術問題", 很多重要觀念的陳述, 對於高中生而言, 應該是非常抽象而難以理解. 因此, 高中數學老師的教學將是學生能否理解的關鍵. 隨之而來的疑問是, 又有多少高中數學老師能夠勝任此主題之教學? 這個疑問包含了 (1) 有多少高中數學老師真的理解信賴區間與信心水準? (2) 就算這些高中數學老師真的理解信賴區間與信心水準, 在有限的資源下 (不能介紹太多機率統計理論), 如何能將這個主題精準地讓學生了解?
這樣的數學教材若讓高中生自始自終都沒搞懂, 那倒還好, 上大學後重念就好; 最怕的是學到了錯誤的觀念. 練家子都知道, 所謂學拳容易改拳難啊! 與其如此, 不如不教! 最後值得一提的是, 關於信心水準與信賴區間,黃文璋教授在 "統計裡的信賴" (數學傳播30卷4期, pp. 48-61) 有非常精彩的講解, 兼對高中課程綱要有若干評論,值得一看! http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d304/30406.pdf
星期四, 1月 29, 2009
星期三, 1月 28, 2009
98 學年度學科能力測驗數學試題
98 學年度學測的數學多選題第 9 題出了一題信賴區間的考題,題目如下:
某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比(以下簡稱為「知名度」)。結果如下：在95% 信心水準之下，該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分別為 [ 0.50 , 0.58 ]、[ 0.08 , 0.16 ]。試問下列哪些選項是正確的？
(1) 甲地本次的參訪者中， 54% 的人聽過該產品
(2) 此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數
(3) 此次調查結果可解讀為：甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於95%
(4) 若在乙地以同樣方式進行多次民調，所得知名度有95% 的機會落在區間 [ 0.08 , 0.16 ]
(5) 經密集廣告宣傳後，在乙地再次進行民調，並增加參訪人數達原人數的四倍，則在95%信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半(即0.04)
說實話我看到考題的時候有點傻眼, 這樣的題目拿來當大學統計學期中考題也不為過, 竟然會出現在學測考題, 原來台灣的高中生這麼威, 連這個都會, 頓時讓我覺得自己受騙了, 還在台上口沫橫飛地賣力教統計, 原來台下的你們早就會了, 怎麼沒人舉手告訴我你們學過了呢? 這些台大學生真是太可惡了!^^
我相當好奇高中數學課本是如何介紹信賴區間 (事實上, 上過我的課的學生應該知道我很討厭這個名詞, 我個人喜歡用區間估計式與區間估計值), 不過下次上統計課時, 我一定要逼問學生, 還有什麼東西你們已經學過了, 快快從實招來!
某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比(以下簡稱為「知名度」)。結果如下：在95% 信心水準之下，該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分別為 [ 0.50 , 0.58 ]、[ 0.08 , 0.16 ]。試問下列哪些選項是正確的？
(1) 甲地本次的參訪者中， 54% 的人聽過該產品
(2) 此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數
(3) 此次調查結果可解讀為：甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於95%
(4) 若在乙地以同樣方式進行多次民調，所得知名度有95% 的機會落在區間 [ 0.08 , 0.16 ]
(5) 經密集廣告宣傳後，在乙地再次進行民調，並增加參訪人數達原人數的四倍，則在95%信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半(即0.04)
說實話我看到考題的時候有點傻眼, 這樣的題目拿來當大學統計學期中考題也不為過, 竟然會出現在學測考題, 原來台灣的高中生這麼威, 連這個都會, 頓時讓我覺得自己受騙了, 還在台上口沫橫飛地賣力教統計, 原來台下的你們早就會了, 怎麼沒人舉手告訴我你們學過了呢? 這些台大學生真是太可惡了!^^
我相當好奇高中數學課本是如何介紹信賴區間 (事實上, 上過我的課的學生應該知道我很討厭這個名詞, 我個人喜歡用區間估計式與區間估計值), 不過下次上統計課時, 我一定要逼問學生, 還有什麼東西你們已經學過了, 快快從實招來!
星期日, 1月 04, 2009
經濟統計, 脫離現實?
經濟統計, 脫離現實? 這是商業周刊 1102 期 (2009-01-05) 楊少強先生的大作, 當然原標題是"肯定句", 在此我的標題是"問句".
說實話, 原作者的文筆很好, 只是因為文筆太好, 就這麼"張飛打岳飛"地把多個問題揉在一起, 反而讓人摸不著頭緒, 不過只要對著經濟學開槍, 平常受盡經濟學家"鳥氣"的鄉民們焉有不鼓掌叫好, 用力轉貼之理?
對於楊文, 我有以下解讀, 若有誤解之處, 但望海涵.
首先 , 該文以「事前經濟學家為什麼不能預測到這次金融海嘯與經濟衰退?」作為破題, 打響第一槍, 接下來以物理學家 Bouchaud 作為先鋒, 輔以 Rogoff 以及 Stein 兩個經濟學家的"自省罪己"之語作為掩護, 就這麼兵臨城下...文章走筆至此, 我尚能理解, 確實, 經濟學對於金融市場的運作與金融危機等議題的理論研究可能有其不足之處, 然而經濟理論正是要透過如金融海嘯這種 quasi-natural experiment; 以及透過統計工具與資料對話才能不斷精進. 經濟理論是否因為"經濟個體都是理性的假設" 而困頓不前, 我不敢斷言, 但是透過統計工具對於經濟理論去蕪存菁的"健康進程"卻不曾停歇.
因此, 楊文雖然師出無名, 但好歹也已兵臨城下, 臨陣之時, 卻拿出 McCloskey 以及 Friedman 當作攻城之將, 就有點不知所以. 試問: "太注重統計結果，卻忽略背後的經濟意涵" 與 "事前經濟學家為什麼不能預測到這次金融海嘯與經濟衰退?" 或是 "儘管市場泡沫不斷出現，經濟學對此領域研究卻付之闕如" 有何相干?
事實上, 經濟理論正是要透過統計分析才能與現實對話, 至於是否能正確或適當地運用統計工具, 這是另外一個議題, 也就是說, 如果楊文所要批判的是經濟學家如何"錯誤詮釋統計結果", 則抬出 McCloskey 以及 Friedman 自然有其道理, 但是"錯誤詮釋統計結果"與"為什麼不能預測到這次金融海嘯與經濟衰退"顯然是個不相干的議題.
對於"錯誤詮釋統計結果"在經濟學實證研究中早已不是什麼新鮮的議題 (早期探討請見 McCloskey (1985) 以及 McCloskey and Ziliak (1996)), 本人在台大經研所的國際金融課程裡對此主題亦有討論, 有興趣的讀者請參閱 How to Write an Empirical Paper? (http://0rz.com/EYoY) 事實上, 對於 Ziliak and McCloskey (2004) 文章亦有許多有趣的評論, 全收錄在同期的 Journal of Socio-Economics 中. 參予評論的計量經濟學家包括 Graham Elliot, Clive W.J. Granger, Joel L. Horowitz, Edward E. Leamer, Erik Thorbecke, 以及 Jeffrey M. Wooldridge.
楊文在最後一段說:
"經濟學是否過度依賴統計分析而脫離現實，以致對歷次金融危機都無力預知？本欄沒有答案"
Well, 有答案才怪, 問了一個錯誤的問題, 怎麼會有答案? 恐怕失去了統計分析, 經濟學才會變成脫離現實的玄學吧! 真要批評部分經濟學研究脫離現實, 有興趣的讀者可參閱:
1) Klein and Romero (2007). "Theory of what?", Econ Journal Watch, 4(2), 241-271
http://www.econjournalwatch.org/pdf/KleinRomeroEconomicsInPracticeMay2007.pdf
2) McCloskey (2000c), McCloskey (2001),McCloskey (2002), McCloskey (2005)等文章。而McCloskey (2000a)一書中更有許多對於理論模型的探討。
參考文獻:
McCloskey (1985) “The Loss Function Has Been Mislaid: The Rhetoric of Significance Tests,” American Economic Review, v. 75, iss. 2, pp. 201-05
McCloskey and (1996) “The Standard Error of Regressions,” Journal of Economic Literature,
v. 34, iss. 1, pp. 97-114
McCloskey, Deirdre (2000a), How to be human - Though an economist, Ann Arbor.
McCloskey, Deirdre (2001), Economic Science: A Search through the Hyperspace of Assumptions?,
McCloskey, Deirdre (2005), "Trouble with mathematics and statistics in economics", History of Economic Ideas, 13(3), 85-102.
McCloskey, Deirdre N. (2000b), The A-Prime/C-Prime Theorem.
McCloskey, Deirdre (2000c), "How to be scientic in economics", Eastern Economic Journal, 26(2), 241-246.
McCloskey, Deirdre (2002), “Samuelsonian economics”, Eastern Economic Journal.
說實話, 原作者的文筆很好, 只是因為文筆太好, 就這麼"張飛打岳飛"地把多個問題揉在一起, 反而讓人摸不著頭緒, 不過只要對著經濟學開槍, 平常受盡經濟學家"鳥氣"的鄉民們焉有不鼓掌叫好, 用力轉貼之理?
對於楊文, 我有以下解讀, 若有誤解之處, 但望海涵.
首先 , 該文以「事前經濟學家為什麼不能預測到這次金融海嘯與經濟衰退?」作為破題, 打響第一槍, 接下來以物理學家 Bouchaud 作為先鋒, 輔以 Rogoff 以及 Stein 兩個經濟學家的"自省罪己"之語作為掩護, 就這麼兵臨城下...文章走筆至此, 我尚能理解, 確實, 經濟學對於金融市場的運作與金融危機等議題的理論研究可能有其不足之處, 然而經濟理論正是要透過如金融海嘯這種 quasi-natural experiment; 以及透過統計工具與資料對話才能不斷精進. 經濟理論是否因為"經濟個體都是理性的假設" 而困頓不前, 我不敢斷言, 但是透過統計工具對於經濟理論去蕪存菁的"健康進程"卻不曾停歇.
因此, 楊文雖然師出無名, 但好歹也已兵臨城下, 臨陣之時, 卻拿出 McCloskey 以及 Friedman 當作攻城之將, 就有點不知所以. 試問: "太注重統計結果，卻忽略背後的經濟意涵" 與 "事前經濟學家為什麼不能預測到這次金融海嘯與經濟衰退?" 或是 "儘管市場泡沫不斷出現，經濟學對此領域研究卻付之闕如" 有何相干?
事實上, 經濟理論正是要透過統計分析才能與現實對話, 至於是否能正確或適當地運用統計工具, 這是另外一個議題, 也就是說, 如果楊文所要批判的是經濟學家如何"錯誤詮釋統計結果", 則抬出 McCloskey 以及 Friedman 自然有其道理, 但是"錯誤詮釋統計結果"與"為什麼不能預測到這次金融海嘯與經濟衰退"顯然是個不相干的議題.
對於"錯誤詮釋統計結果"在經濟學實證研究中早已不是什麼新鮮的議題 (早期探討請見 McCloskey (1985) 以及 McCloskey and Ziliak (1996)), 本人在台大經研所的國際金融課程裡對此主題亦有討論, 有興趣的讀者請參閱 How to Write an Empirical Paper? (http://0rz.com/EYoY) 事實上, 對於 Ziliak and McCloskey (2004) 文章亦有許多有趣的評論, 全收錄在同期的 Journal of Socio-Economics 中. 參予評論的計量經濟學家包括 Graham Elliot, Clive W.J. Granger, Joel L. Horowitz, Edward E. Leamer, Erik Thorbecke, 以及 Jeffrey M. Wooldridge.
楊文在最後一段說:
"經濟學是否過度依賴統計分析而脫離現實，以致對歷次金融危機都無力預知？本欄沒有答案"
Well, 有答案才怪, 問了一個錯誤的問題, 怎麼會有答案? 恐怕失去了統計分析, 經濟學才會變成脫離現實的玄學吧! 真要批評部分經濟學研究脫離現實, 有興趣的讀者可參閱:
1) Klein and Romero (2007). "Theory of what?", Econ Journal Watch, 4(2), 241-271
http://www.econjournalwatch.org/pdf/KleinRomeroEconomicsInPracticeMay2007.pdf
2) McCloskey (2000c), McCloskey (2001),McCloskey (2002), McCloskey (2005)等文章。而McCloskey (2000a)一書中更有許多對於理論模型的探討。
參考文獻:
McCloskey (1985) “The Loss Function Has Been Mislaid: The Rhetoric of Significance Tests,” American Economic Review, v. 75, iss. 2, pp. 201-05
McCloskey and (1996) “The Standard Error of Regressions,” Journal of Economic Literature,
v. 34, iss. 1, pp. 97-114
McCloskey, Deirdre (2000a), How to be human - Though an economist, Ann Arbor.
McCloskey, Deirdre (2001), Economic Science: A Search through the Hyperspace of Assumptions?,
McCloskey, Deirdre (2005), "Trouble with mathematics and statistics in economics", History of Economic Ideas, 13(3), 85-102.
McCloskey, Deirdre N. (2000b), The A-Prime/C-Prime Theorem.
McCloskey, Deirdre (2000c), "How to be scientic in economics", Eastern Economic Journal, 26(2), 241-246.
McCloskey, Deirdre (2002), “Samuelsonian economics”, Eastern Economic Journal.
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